밀만의 정리(Millman’s Theorem)

밀만의 정리 (Millman’s Theorem)

 

 

1. 밀만의 정리 (Millman’s Theorem)

이 정리는 내부저항을 갖는 전원이 다음과 같이 병렬접속될 경우 양단자에 나타나는 전압을 구하는 편리한 방법을 제공한다.

이해를 돕기 위해 그림을 통해 설명하도록 한다 .

< Fig01. 내부저항을 갖는 다중전원회로 >

 

위 그림에서 RL 가지의 전류 I 를 구하기 위해서는 앞에서 기술한 중첩의 정리 또는 테브난의 등가회로를 이용할 수 있는데 매우 번거롭다는 것을 곧바로 알 수 있을 것이다. 이런 경우 편리함을 제공하는 것이 지금부터 설명하는 밀만의 정리로서 원리를 이해해 놓으면 현업에 아주 유용하게 사용할 수 있다. 이 정리는 다음과 같은 단계를 통해서 회로를 감축해 간다.

 

Step 1

다음과 같이 직렬저항으로 전압을 나누어 이를 전류원으로 하고 전류원과 해당 내부저항을 병렬로 접속한다.

< Fig02. 전압원을 전류원으로 바꾸고 저항과 병렬접속 >

 

Step 2

원래 전압원 이었다가 전류원으로 대체 되면서 병렬로 접속되어 있으므로 하나로 모을 수 있으며 저항도 병렬로 접속되어 있으므로 역시 하나로 모을 수 있다. 다음 그림은 이 관계를 나타내고 있다 .

< Fig03. 전류원과 저항을 각각 한쪽으로 모은 회로 >

 

< Fig04. 전류원과 저항을 각각 등가합성한 회로 >

 

Step 3

앞 그림에서 등가전류원과 등가저항이 병렬로 접속되어 있으므로 이번에는 앞에서 기술했던 과정과는 반대로 이를 등가전압 원과 등가저항이 직렬로 접속된 회로로 만들 수 있다 . 마치 조립은 분해의 역순처럼 생각하면 될 것이다 .

 

< Fig05. 하나의 전원과 저항으로 완성된 등가회로 >

 

위의 등가회로에서 전류를 구하는 것은 매우 간단한 일이 될 것이다.

즉 처음에 제시한 회로와 같이 전원과 직렬저항을 가진 다중전원회로 해석에는 밀만의 정리가 아주 적합함을 알 수 있다. 중첩의 정리 및 테브난의 등가회로를 이용하여 각각 회로를 해석해 보고 편리함을 비교해 보기 바란다.

 

밀만의 정리도 테브난의 경우와 마찬가지로 회로를 간단화하는 방법인데 어떻게 앞에서 설명한 과정이 성립하는지 증명해 보자. 엔지니어의 올바른 자세는 정리의 결과가 주는 공식을 외우는데 있는 것이 아니라 이 정리가 성립하기 위한 물리적인 개념이 무엇인가를 파악하여 현업에 적용할 수 있도록 자기 것으로 소화해 놓는 것이라 생각한다. 이 정리 역시 회로가 수동소자로만 이루어진 경우만을 설명하도록 하며 차근차근 주의깊게 이해하기 바란다. 다음 회로를 가지고 어떻게 전압원과 직렬접속된 저항이 앞에서 설명한 대로 등가전류원과 병렬로 접속될 수 있을까 알아본다.

앞 회로에서 REQ로 대체된 부분은 수동소자 및 전원을 포함할 수 있으며 아무튼 앞에서 설명한 선형회로이기만 하면 된다.

다음 그림과 같이 간단하게 표현될 수 있고 이중쇄선내의 부분은 아직은 관심을 두지 말고 Black Box처럼 생각하자 .

위 그림에서 전압 분배법칙에 의하여 Black Box 양단에 걸리는 전압을 구해보면 다음과 같다.

이번에는 앞에서 설명한대로 등가전류원으로 대체하고 전류분배법칙에 의해 등가전압을 구하면 다음과 같다.

 

 

두식에서 VEQ는 동일한 값임을 알 수 있으며 이렇게 될 경우 우리는 두 회로가 등가 변환된 것으로 본다.

즉 앞에서 변환과정을 설명한 밀만의 정리는 증명된 것이며 이는 외부회로의 구성형태에 관계없이 전압원과 직렬로 접속된 저항은 직렬저항으로 나누어 구해지는 등가전류원과 저항을 병렬로 할 수 있다는 것이다.

 

그러면 테브난의 등가회로 설명에 사용했던 다음 회로를 가지고 밀만의 정리를 적용해서 I 를 구해보자.

등가전류원으로 대체

 

등가전류원 및 병렬 합성한 저항을 등가전압원 및 직렬저항으로 대체

 

 

전압원을 등가전류원 으로 대체하고 직렬저항을 병렬로 접속

병렬저항 합성

 

최종적으로 간략화 된 위 그림에서 구하려 했던 R6 가지의 전류는 아주 손쉽게 구할 수 있다.

앞에서 기술한 다른 방법들과 결과를 비교하기 바라며 편리한 방법을 적용하여 회로를 해석하면 되는 것이다. 아무튼 밝히고자 하는 현상을 회로로 나타낼 수 있다면 이런 방법들을 적용하여 얼마든지 해석해 낼 수 있는 것이다. 중요한 것은 주어진 문제를 어떻게 회로화 하는가 하는 것은 전적으로 전기기술자들의 노력에 달려 있으며 이런 직관력을 갖기 위해서는 자기나 름의 기법을 터득하는데 게을리 하지 않아야 할 것이다 .